النهايات أو النهاية هي من المفاهيم الأساسية في علم التفاضل والتكامل، الذي نشأ لوصف الكيفية التي تتغير فيها الأشياء.[1] وتستخدم النهاية لمعرفة سلوك الاقتران عندما تقترب قيم المتغير المستقل س من عدد معين، ويعبّر عنها رياضيا بالصيغة التالية:[1]
نها ق(س) س?أ
تُقرأ نهاية الاقتران ق(س) عندما تقترب قيم س من أ، حيث أ ?ح، وح هي مجموعة الأعداد الحقيقية. وحتّى تكون هذه النهاية موجودة، فيجب أن يكون الإقتران ق(س) مُعرّفاً على فترة مفتوحة قصيرة الطول، على الصورة (أ-جـ، أ+جـ)، وتحوي العدد أ، وحيثُ جـ عدد حقيقي صغير جداً. علماً أنّه ليس من الضرورة أن يكون ق(س) مُعرّفاً عند العدد أ نفسه. وحتّى يتحقق هذا الشرط، فإنّ قيمة النهاية عند الإقتراب من أ من جهة اليسار عليها أن تساوي قيمتها عند الإقتراب من جهة اليمين:[1]
نها ق(س) س?أ = نها ق(س) س?أ+ = نها ق(س) س?أ-
إنّ إشارة (+) على يسار أ تعني نهاية الاقتران ق(س) عندما تقترب قيم س من العدد أ من جهة اليمين،[1] أمّا إشارة (-) على يسار العدد أ فتعني نهاية الاقتران ق(س) عندما تقترب قيم س من العدد أ من جهة اليسار.[1]
خصائص النهايات
يمكن تخمين قيمة نهاية اقتران ما، عندما تقترب قيم المتغير المستقل س من عدد حقيقي معين، باستخدام الآلة الحاسبة أو من الرسم البياني. لكن، للحصول على نتائج دقيقة وصحيحة فإنّ قيمة النهاية توجد جبريّا. وتستخدم خصائص النهايات لتسهيل هذه العملية.[2] نذكرُ فيما يلي أهم نظريّات النهايات التي تستعرضُ خصائصها:[1]
نظرية (1) إذا كان أ، ب عددين حقيقين، وكان ق(س) = ب لكل س ?ح،فإنّ:نها ق(س)س?أ= ب
نها ق(س)س?أ= ب
نظرية (2) إذا كانت أ ?ح، حيث ح هي مجموعة الأعدادالحقيقية، ن عدد صحيح موجب، وكان ق(س) = سن، فإنّ:نها ق(س) س?أ = أن
نها ق(س) س?أ = أن
نظرية (3) إذا كان ق، هـ اقترانين، حيث أ، ب، جـ، م أعداد حقيقية، وكاننها ق(س) س?أ = ب، نها هـ(س) س?أ = جـ، فإنّ: 1- نها ( ق(س) س?أ + هـ(س)س?أ ) = نها ق(س)س?أ + نها هـ (س)س?أ = ب + جـ. 2- نها ( ق(س)س?أ - هـ(س)س?أ ) = نها ق(س)س?أ - نها هـ (س)س?أ = ب - جـ. 3- نها ( ق(س)س?أ × هـ(س)س?أ ) = نها ق(س)س?أ × نها هـ (س)س?أ = ب × جـ. 4- نها ( ق(س)س?أ ÷ هـ(س)س?أ ) = نها ق(س)س?أ ÷ نها هـ (س)س?أ = ب ÷ جـ، حيث جـ ? 0. 5- نها( م x ق(س)س?أ ) = م x نها ق(س)س?أ = م × ب.
نها ق(س) س?أ = ب، نها هـ(س) س?أ = جـ، فإنّ:
كيفية تطبيق نظريّات النهايات
حتى نستطيع أن نفهم النظريات المكتوبة أعلاه بشكل أفضل، يجب حل الكثير من المسائل، ولتسهيل عملية تطبيق هذه النظريات، تمّت ترجمتها إلى كلمات في الجدول التالي:[3]
النظرية الشرح بالكلمات 1 نهاية الإقتران الثابت هي قيمة الثابت نفسه، بغض النظر عن القيمة التي تقترب منها السينات. 2 إذا كان الإقتران على شكل ق(س) = سن، حيث ن عدد صحيح موجب، فإنّ قيمة النهاية عندما تقترب السينات من عدد حقيقي ما، ليكن أ، هي التعويض المباشر لـ أ في الإقتران. 3 النهاية لاقترانين مجموعين يساوي مجموع نهاية كل اقتران على حدا. وكذلك الأمر إذا كان الاقترانين مطروحين: فيساوي نتيجة طرح نهاية الإقترانين من بعضهما البعض، أو مضروبين: فيساوي حاصل ضرب نهاية الإقتران الأول في نهاية الإقتران الثاني، أو مقسومين: فيساوي نتيجة قسمة نهاية الإقتران الأول على نهاية الإقتران الثاني، بشرط ألا تكون قيمة نهاية الإقتران الثاني (المقام) صفرا.
بالإضافة لما سبق، يمكن أيضاً اعتماد الفائدة التالية:[3]
حقيقة إذا كان ق(س) اقتران كثير حدود، فإنّ:نها ق(س) س?أ = ق(أ).
نها ق(س) س?أ = ق(أ).
الأمثلة التالية تُوضّح كيف تُوجَدُ النهاية باستخدام النظريات:
مثال (1): نها( 14 - 6س + س3) س?-2[4] باستخدام نظرية (3)، فإنّ النهاية توزّع على الاقترانات المجموعة والمطروحة، فيصبح لدينا ثلاث نهايات، سنجد قيمة كل واحدة على حدا: 1- نها 14 س?-2، وباستخدام نظرية (1)، فإنّ قيمة هذه النهاية = 14. 2- نها 6 س س?-2، وباستخدام نظرية (2) و نظرية (3 - 5) ، فإنّ قيمة هذه النهاية = 6 × -2 = -12. 3- نها س3س?-2، وباستخدام نظرية (2)، فإنّ قيمة هذه النهاية = (-2)3 = -8. فالجواب النهائي إذا: 14 - (-12) + -8 = 18. مثال (2): نها ( -16 + 7س + 3س2) س?6[5] باستخدام نظرية (3)، فإنّ النهاية توزّع على الاقترانات المجموعة والمطروحة، فيصبح لدينا ثلاث نهايات، سنجد قيمة كل واحدة على حدا: 1- نها -16 س?6، وباستخدام نظرية (1)، فإنّ قيمة هذه النهاية = -16. 2- نها 7 س س?6، وباستخدام نظرية (2) و نظرية (3 - 5) ، فإنّ قيمة هذه النهاية = 7 × 6 = 42. 3- نها 3س2س?6، وباستخدام نظرية (2)، فإنّ قيمة هذه النهاية = 3 × (6)2 = 108. فالجواب النهائي إذا: -16 + 42 + 108 = 134. المراجع ^ أ ب ت ث ج ح د.لانا كمال عرفة، إبراهيم أحمد عمايرة، د.يوسف محمد صبح، وآخرون (2017)، الرياضيات للصف الثاني عشر، الفرعين العلميّ والصناعيّ (الطبعة الأولى)، الأردن: وزارة التربية والتعليم، صفحة 10,12,13,14,19. بتصرّف. ? JAMES STEWART (2008), CALCULUS EARLY TRANSCENDENTALS, UNITED STATES : THOMSON LEARNING, Page 99. Edited. ^ أ ب ""Section 2-4 : Limit Properties"", lamar, Retrieved 2018-12-6. Edited. ? ""Section 2-4 : Limit Properties- Practice Problems Solutions"", lamar, Retrieved 2018-12-6. Edited. ? ""Section 2-4 : Limit Properties-Practice Problems Solutions"", lamar, Retrieved 2018-12-6. Edited."
نحن نستخدم ملفات تعريف الارتباط (كوكيز) لفهم كيفية استخدامك لموقعنا ولتحسين تجربتك. من خلال الاستمرار في استخدام موقعنا ، فإنك توافق على استخدامنا لملفات تعريف الارتباط.